本篇文章给同学们谈谈高三数学模拟调研卷二，以及高三数学试题调研对应的知识点，希望对各位同学有所帮助，不要忘记分享给你的朋友哦！
本文目录一览：
- 1、跪求 2008上海市普陀区 高三数学 二模试卷+解答
- 2、哪里有2009苏州高三数学一模试卷和答案？
- 3、2010年浦东新区高三理科数学二模卷第23题
- 4、黄冈市2011年高三模拟考试数学文答案
- 5、求南京市,盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学卷答案
跪求 2008上海市普陀区 高三数学 二模试卷+解答
上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研
数学试卷（理科）
一、填空题（本大题满分44分）
1. 已知 ，且 ，则 .
2. 若 ，其中 、 是实数， 是虚数单位，则 .
3. 等差数列 中，若 ，则 .
4. 在极坐标系中，点 到直线 的距离为 ．
5. 已知向量 ， ，若 ，则实数 .
6. 在△ 中，若 ， ，则 ．
7. 从集合 中任取两个元素 、 （ ），则方程 所对应的曲线表示焦点在 轴上的双曲线的概率是 ．
8. 设 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ．
9. 若 的二项展开式中的第5项是 ，设 ，则 .
10. 设函数 ，则 在区间 内有定义且不是单调函数的充要条件是 .
11. 在直角坐标平面内，不难得到“对于双曲线 （ ）上任意一点 ，若点 在 轴、 轴上的射影分别为 、 ，则 必为定值 ”.类似地，在直角坐标平面内，对于双曲线 （ ， ）上任意一点 ，若 ，则 .
二、选择题（本大题满分16分）
12. “ ”是“直线 和直线 垂直”的 （ ）
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既非充分又非必要条件.
13. 设 、 是非零向量，若函数 ， 的图像是一条直线，则必有 （ ）
A． ； B． ； C． ； D． .
14. 若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面 （ ）
A. 一定通过正方体的中心； B. 一定通过正方体一个表面的中心；
C. 一定通过正方体的一个顶点； D. 一定构成正多边形.
15. 设集合 ，集合 ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. ； B. ； C. ； D. .
三、解答题（本大题满分90分）
16.（本题满分12分）如图，在体积为 的三棱锥 中， ， ， . 点M、N分别是 的中点．求异面直线 与 所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）
17. （本题满分12分）
已知定理:“如果两个非零向量 不平行，那么 ( )的充要条件是 ”. 试用上述定理解答问题：
设非零向量 与 不平行. 已知向量 ，向量 ，且 . 求 与 的关系式；并当 时，求 的取值范围.
18. （本题满分14分，其中第1小题5分，第2小题9分）
已知函数 ， .
（1）若关于 的方程 有解，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求 的最小值.
19. （本题满分16分，其中第1小题6分，第2小题10分）
经济学中有一个用来权衡企业生产能力（简称“产能”）的模型，称为“产能边界”.它表示一个企业在产能最大化的条件下，在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能的组合. 例如，某企业在产能最大化条件下，一定时期内能生产A产品 台和B产品 台，则它们之间形成的函数 就是该企业的“产能边界函数”. 现假设该企业此时的“产能边界函数”为 .
（1）试分析该企业的产能边界，分别选用①、②、③中的一个序号填写下表：
点 对应的产量组合
实际意义
① 这是一种产能未能充分利用的产量组合；
② 这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合；
③ 这是一种使产能最大化的产量组合.
（2）假设A产品每台利润为 元，B产品每台利润为A产品每台利润的 倍（ ， ）.在该企业的产能边界条件下，试为该企业决策，应生产A产品和B产品各多少台才能使企业获得最大利润？
20. （本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分）
已知无穷数列 中， 是以 为首项，以 为公差的等差数列； 是以 为首项，以 为公比的等比数列 ；并且对一切正整数 ，都有 成立.
（1） 当 时，请依次写出数列 的前12项；
（2） 若 ，试求 的值；
（3） 设数列 的前 项和为 ，问是否存在 的值，使得 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
21. （本题满分20分，其中第1小题5分，第2小题7分，第3小题8分）
已知点 的坐标分别是 、 ，直线 相交于点P，且它们的斜率之积为 ．
（1）求证：点P的轨迹在一个椭圆 上，并写出椭圆 的方程；
（2）设过原点 的直线 交（1）题中的椭圆 于点 、 ，定点 的坐标为 ，试求 面积的最大值，并求此时直线 的斜率 ；
（3）反思（2）题的解答，当 的面积取得最大值时，探索（2）题的结论中直线 的斜率 和 所在直线的斜率 之间的关系. 由此推广到点 位置的一般情况或椭圆的一般情况（使第（2）题的结论成为推广后的一个特例），试提出一个猜想或设计一个问题，尝试研究解决.
【说明：本小题将根据你所提出的猜想或问题的质量分层评分.】
哪里有2009苏州高三数学一模试卷和答案？
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[img]2010年浦东新区高三理科数学二模卷第23题
以前和一楼的一样
但解出来2^x=1或者1/2
x=0或者-1
而且他补充的答案中，有句话是错误的
对数函数不是和导数函数是反函数
对数函数和指数函数互为反函数！
黄冈市2011年高三模拟考试数学文答案
湖北省黄冈市黄州区一中2011届高三2011年数学模拟试卷二
选择题
1．则（ ）
A．21004 B．－21004 C．22008 D．－22008
A
解析 。
2．定义集合运算:.设,,则集合 的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
D
3．已知a,b∈R，且ab，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2b2 B．() a ()b C．lg(a－b)0 D．1
4．已知条件: =，条件：直线与圆相切，则是的
（ ）条件
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析 ：直线与圆相切。
5. 已知集合的集合T= ( )
A、 B、 C、 D、
A
解析 ，因为，所以选（A）。
6．设，则等于（ ）
A． B． C． D．
D
解析 ，选（D）
7．已知圆，点（－2，0）及点（2，），从点观察点，要使视线不被圆挡住，则的取值范围是 ( )
A.（－∞，－1）∪（－1，+∞）
B.（－∞，－2）∪（2，+∞）
C.（－∞，）∪（，+∞）
D.（－∞，－4）∪（4，+∞）
C
解析 如图，,。所以的取值范围是（C）。
8．（文）（ ）
A． B． C． D．
D
解析 。
（理）从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）
A. 100种 B. 400种 C. 480种w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D．2400种
D
解析 。
9．函数对任意正整数a、b满足条件，且。则
的值是（ ）
A．2007 B．2008 C．2006 D．2005
B
解析 因为，所以，即，所以
10．已知函数，则对于任意实数、，取值的情况是（ ）
A．大于0 B．小于0 C． 等于0 D．不确定
A
解析 函数是奇函数，且在R上单调增。不妨设，则，所以，所以，所以。
11．为了大力改善交通，庆祝国庆60周年，某地区准备在国庆60周年来临之际，开通A，
B两地之间的公交线路。已知A，B相距15公里，公交的规划要求如下：相邻两个站点之间的距离相等，经过每一站点的汽车前后间隔时间为3分钟，忽略停车时间，设计汽车的行使速度是60公里每小时，则在A，B两地之间投入运行的汽车至少需要（ ）辆。
A．9 B．10 C．11 D．12
B
解析 因为每3分钟一班，行使速度是60公里每小时，所以相邻两个站点之间的距离是3公里，所以从A，B单程需要6个站点，即需要6辆汽车，再加上从B到A需要4辆汽车，所以共需要10辆汽车。
12．已知等差数列｛a｝的前n项和为S，若，，则此数列｛a｝中绝
对值最小的项是（ ）
A B C D
C
解析 因为，，所以,所以，所以
，所以此数列｛a｝中绝对值最小的项是。
填空题
13.执行右边的程序框图，若，则输出的
解析 。
14．（文）利用随机模拟方法计算与围成的面积时,利用计算器产生两组0~1区间的均匀随机数,,然后进行平移与伸缩变换,,试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数，及，，那么本次模拟得出的面积为
10.72
解析 由，得：，点落在与围成的区域
内，由，得：，点也落在与
围成的区域内，所以本次模拟得出的面积为。
（理）极坐标方程表示的曲线是
一条直线和一个圆
解析 ，
则或。
15．（文）某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为 （制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）。
解析 由三视图知该工作台是棱长为80的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合板，如右图示，则用去的合板的面积。
（理）如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功 J。
0.18
解析 ，所以，所以。
16．（文）已知满足：，则函数的取值范围是
解析 ，其中。作出可行域得，即，又因为函数在上单调增，所以，所以。
(理) 设，则的最小值为
8
解析 设，由柯西不等式得：
，当且仅当同向时，等号成立。又，所以，所以的最小值为8。
解答题
17．如图，已知点和单位圆上半部分上的动点．
⑴若，求向量；
⑵求的最大值．
解析⑴依题意，，（不含1个或2个端点也对），
，（写出1个即可），
因为，所以，即，解得，
所以；
⑵，
。当时，取得最大值，。
18．（文）在新中国建立的60年，特别是改革开放30年以来，我国的经济快速增长，人民的生活水平稳步提高。某地2006年到2008年每年的用电量与GDP的资料如下：
日 期 2006年 2007年 2008年
用电量（x亿度） 11 13 12
GDP增长率（y（百分数）） 25 30 26
（1）用表中的数据可以求得，试求出y关于x的线性回归方程；
（2）根据以往的统计资料：当地每年的GDP每增长，就会带动1万就业。由于受金融危机的影响，预计2009年的用电量是8亿度，2009年当地新增就业人口是20万，请你估计这些新增就业人口的就业率。
解析 （1）由数据求得，所以．所以y关于x的线性回归方程为；
（2）当时，，所以预测2009年当地的GDP增长，从而可以带动当地的新增就业人口17万，估计这些新增就业人口的就业率。
（理）某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工
没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训。
（I）求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率；
（II）这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量，求X
的分布列和数学期望.
解析（I）恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率
（II）随机变量X可能取的值是：0，1，2，3.
；
∴随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
∴X的数学期望。
19．（文）一个多面体的三视图（正前方垂直于平面）及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点。
（1）计算多面体的体积；
（2）求证‖平面；
（3）若点是AB的中点，求证AM平面。
解析(1)如右图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=BC=CC1=，所以；
（2）连，由矩形性质得：AB1与A1B交于点M，在△AB1C1中，由中位线性质得MN//AC1，又因为平面ACC1A1，所以MN‖平面；
（3）在矩形中，，，所以，所以，又因为平面平面，，所以平面，所以，即，又，所以平面，即AM平面。
（理）已知中，，，⊥平面，，、分别是、上的动点，且．
（1）求证不论为何值，总有平面⊥平面；
（2）若平面与平面所成的二面角的大小为，求的值。
解析（1）∵⊥平面，∴，又在中，，∴，又，∴⊥平面，又在中、分别是、上的动点，且，∴，∴⊥平面，又平面，∴不论为何值，总有平面⊥平面；
（2）过点作，∵⊥平面，∴⊥平面，又在中，，∴，如图，以为原点，建立空间直角坐标系．又在中，，，∴。又在中，，∴，则。
∵，∴，∵，∴，
又∵， ，
设是平面的法向量，则，因为，所以，因为=(0,1,0)，所以，令得，，因为 是平面的法向量，且平面与平面所成的二面角为，，∴，∴或（不合题意，舍去），故当平面与平面所成的二面角的大小为时。
20．已知函数有极值．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围．
解析（Ⅰ）∵，∴， 要使有极值，则方程有两个实数解，从而△＝，∴．
（Ⅱ）∵在处取得极值，∴，∴．
∴，∵，∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．∴时，在处取得最大值， ∵时，恒成立，
∴，即，∴或，即的取值范围是。
21．已知椭圆，的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，圆心在y轴上的圆C2与斜率为的直线切于点B，且AF‖。
（1）求圆的方程及椭圆的离心率。
（2）过P作圆C2的切线PE，PG，若的最小值为，求椭圆的方程。
解析(1)由圆心在y轴上的圆C2与斜率为1的直线切于点B，所以圆心在过B且垂直于的直线上，又圆心在y轴上，则圆心C2（0，3），
圆心到直线的距离，所以所求圆C2方程为：，又AF‖，，所以有，即，椭圆的离心率为；
（2）设
在中， ，由椭圆的几何性质有：
，所以有，因，所以，
所以椭圆的方程为。
22．（文科）（1）若数列是数列的子数列，试判断与的大小关系；
（2）在数列中，已知是一个公差不为零的等差数列，a5=6。
当且
；
②若存在自然数
构成一个等比数列。求证：当a3是整数时，a3必为12的正约数。
解析（1）；
（2）①因为，从而，
，；
②因为，即
，
，
。
因为必为12的正约数。
（理科）已知数列R）对于。
(Ⅰ)当；
(Ⅱ)若，求数列的通项；
(Ⅲ)证明在数列中，存在一项满足≤3。
解析（I），；
当。因此 。
（II），，。
∴猜想对于任意正整数l有（即是周
期为4的数列）。
下面用数学归纳法证明。
（i）时，成立；
（ii）假设当时，成立。
，
，，
，。
由（i）（ii）可知对任意。
同理可证 。
（III）假设对所有的n，，所以数列是首项
为a，公差为－3的等差数列，所以，所以存在充分大的
n，使得，这与假设矛盾，∴假设不成立，∴在数列中，存在一项满足≤3。
求南京市,盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学卷答案
南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．p 2．一 3．－2 4．55 5．
6． 7．③④ 8． 9． 10．50
11．(1，2) 12． 2 13． 14．10000
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC＝．
（1）若×＝，求△ABC的面积；
（2）设向量x＝(2sin，)，y＝(cosB，cos)，且x∥y，求sin(B－A)的值．
解：（1）由·＝，得abcosC＝．
又因为cosC＝，所以ab＝＝． …………………… 2分
又C为△ABC的内角，所以sinC＝． …………………… 4分
所以△ABC的面积S＝absinC＝3． …………………… 6分
（2）因为x//y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB． ………………… 8分
因为cosB≠0，所以tanB＝．
因为B为三角形的内角，所以B＝． ………………… 10分
所以A＋C＝，所以A＝－C．
所以sin(B－A)＝sin(－A)＝sin(C－)
＝sinC－cosC＝×－×
＝． ………………… 14分
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P—ABCD中， AD＝CD＝AB， AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．
证明：（1）连结AC．不妨设AD＝1．
因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2．
因为ÐADC＝90°，所以AC＝，ÐCAB＝45°．
在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2．
所以BC^AC． …………………… 3分
因为PC^平面ABCD，BCÌ平面ABCD，所以BC^PC． …………………… 5分
因为PCÌ平面PAC，ACÌ平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BC^平面PAC． …………………… 7分
(第16题图)
P
A
B
C
D
M
N
（2）如图，因为AB∥DC，CDÌ平面CDMN，ABË平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN． …………………… 9分
因为ABÌ平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN＝MN，
所以AB∥MN． …………………… 12分
在△PAB中，因为M为线段PA的中点，
所以N为线段PB的中点，
即PN：PB的值为． …………………… 14分
17．（本小题满分14分）
E
B
G
A
N
D
M
C
F
O
H
P
(第17题图)
右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)．过O作OP^AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
(i)设∠POF＝θ (rad)，将S表示成θ的函数；
(ii)设MN＝x (m)，将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？
解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．
(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．
在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，
故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．
即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．
…………4分
(ii)因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．
在Rt△ONF中，NF＝＝＝．
在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，
故S＝EF×FG＝x．
即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5． ………… 8分
（2）方法一：选择(i)中的函数模型：
令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，
则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．…………10分
由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．
设cosα＝，且α为锐角，
则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)是减函数，
所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． …………14分
方法二：选择(ii)中的函数模型：
因为S＝ ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，
则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)． ……… 10分
因为当0＜x＜时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．
即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大． …………14分
18．（本小题满分16分）
x
y
A
O
B
C
D
M
N
(第18题图)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0) 的离心率为，直线l：y＝x与椭圆E相交于A，B两点，AB＝2．C，D是椭圆E上异于A，B的任意两点，且直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．
解：（1）因为e＝＝，所以c2＝a2，即a2－b2＝a2，所以a2＝2b2．……2分
故椭圆方程为＋＝1．
由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限．
由解得A(b，b)．
又AB＝2，所以OA＝，即b2＋b2＝5，解得b2＝3．
故a＝，b＝． ……………… 5分
（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C(x0，y0)，
显然k1≠k2．
从而k1 ·kCB＝·＝＝＝＝－．
所以kCB＝－． …………………… 8分
同理kDB＝－．
于是直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)，直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．
由解得
从而点N的坐标为(，)．
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．
………… 11分
所以kMN＝ ＝＝－1．
即直线MN的斜率为定值－1． ………14分
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，
根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．
仍然设DA的斜率为k2，由①知kDB＝－．
此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．
BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，
从而kMN＝－1也成立．
由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． …………16分
方法二：由（1）知，椭圆E的方程为 ＋＝1，从而A(2，1)，B(－2，－1)．
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2．
显然k1≠k2．
直线AC的方程y－1＝k1(x－2)，即y＝k1x＋(1－2k1)．
由得(1＋2k12)x2＋4k1(1－2k1)x＋2(4k12－4k1－2)＝0．
设点C的坐标为(x1，y1)，则2·x1＝，从而x1＝．
所以C(，)．
又B(－2，－1)，
所以kBC＝＝－． ……………… 8分
所以直线BC的方程为y＋1＝－(x＋2)．
又直线AD的方程为y－1＝k2(x－2)．
由解得
从而点N的坐标为(，)．
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为(，)．
……… 11分
所以kMN＝ ＝＝－1．
即直线MN的斜率为定值－1． ………………14分
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，
根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C(2，－1)．
仍然设DA的斜率为k2，则由①知kDB＝－．
此时CA：x＝2，DB：y＋1＝－(x＋2)，它们交点M(2，－1－)．
BC：y＝－1，AD：y－1＝k2(x－2)，它们交点N(2－，－1)，
从而kMN＝－1也成立．
由①②可知，直线MN的斜率为定值－1． ………………16分
19．（本小题满分16分）
已知函数f(x)＝1＋lnx－，其中k为常数．
（1）若k＝0，求曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程；
（2）若k＝5，求证：f(x)有且仅有两个零点；
（3）若k为整数，且当x＞2时，f(x)＞0恒成立，求k的最大值．
（参考数据ln8＝2.08，ln9＝2.20，ln10＝2.30）
解：（1）当k＝0时，f(x)＝1＋lnx．
因为f ¢(x)＝，从而f ¢(1)＝1．
又f (1)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程y－1＝x－1，
即x－y＝0． ………3分
（2）当k＝5时，f(x)＝lnx＋－4．
因为f ¢(x)＝，从而
当x∈(0，10)，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(10，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝10时，f(x)有极小值． ……………… 5分
因f(10)＝ln10－3＜0，f(1)＝6＞0，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点．
因为f(e4)＝4＋－4＞0，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点．
从而f(x)有两个不同的零点． …………… 8分
（3）方法一：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，
即k＜对x∈(2，＋∞)恒成立．
令h(x)＝，则h¢(x)＝．
设v(x)＝x－2lnx－4，则v¢(x)＝．
当x∈(2，＋∞)时，v¢(x)＞0，所以v(x)在(2，＋∞)为增函数．
因为v(8)＝8－2ln8－4＝4－2ln8＜0，v(9)＝5－2ln9＞0，
所以存在x0∈(8，9)，v(x0)＝0，即x0－2lnx0－4＝0．
当x∈(2，x0)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增．
所以当x＝x0时，h(x)的最小值h(x0)＝．
因为lnx0＝，所以h(x0)＝∈(4，4.5)．
故所求的整数k的最大值为4． …………… 16分
方法二：由题意知，1+lnx－＞0对x∈(2，＋∞)恒成立．
f(x)＝1+lnx－，f ¢(x)＝．
①当2k≤2，即k≤1时，f¢(x)＞0对x∈(2，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(2，＋∞)上单调递增．
而f(2)＝1＋ln2＞0成立，所以满足要求．
②当2k＞2，即k＞1时，
当x∈(2，2k)时，f ′(x)＜0， f(x)单调递减，当x∈(2k，＋∞)，f ′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝2k时，f(x)有最小值f(2k)＝2＋ln2k－k．
从而f(x)＞0在x∈(2，＋∞)恒成立，等价于2＋ln2k－k＞0．
令g(k)＝2＋ln2k－k，则g¢(k)＝＜0，从而g(k) 在(1，＋∞)为减函数．
因为g(4)＝ln8－2＞0，g(5)＝ln10－3＜0 ，
所以使2＋ln2k－k＜0成立的最大正整数k＝4．
综合①②，知所求的整数k的最大值为4． ……… 16分
20．（本小题满分16分）
给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．
已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．
（1）求a的值；
（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m (m≥3，m∈N*) 阶子数列，且b1＝ (k为常数，
k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1；
（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m (m≥3，m∈N*) 阶子数列，
求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－．
解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6．
又因为a2＝，a3＝， a6＝，
代入得－＝－，解得a＝0． ……………3分
（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．
因为b1＝，所以b2≤，
从而d＝b2－b1≤ －＝－． ………………6分
所以bm＝b1＋(m－1)d≤－．
又因为bm＞0，所以－＞0．
即m－1＜k＋1．
所以m＜k＋2．
又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1． …………… 9分
（3）设c1＝ (t∈N*)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．
因为c2≤，所以q＝≤．
从而cn＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N*）．
所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋
＝[1－]
＝－． ………… 13分
设函数f(x)＝x－，（m≥3，m∈N*）．
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－为单调增函数．
因为当t∈N*，所以1＜≤2． 所以f()≤2－．
即 c1＋c2＋…＋cm≤2－． ……… 16分
南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试
数学附加题参考答案
A．选修4—1：几何证明选讲
B
A
D
E
C
F
（第21A题图）
如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F．已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF∥BC．
证明：如图，连接ED．
B
A
D
E
C
F
（第21A题图）
因为圆与BC切于D，所以∠BDE＝∠BAD．…………………… 4分
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠DAC．
又∠DAC＝∠DEF，所以∠BDE＝∠DEF．
所以EF∥BC． …………………… 10分
B．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A＝， A的逆矩阵A－1＝ ．
（1）求a，b的值；
（2）求A的特征值．
解：（1）因为A A－1＝ ＝＝．
所以
解得a＝1，b＝－． …………………… 5分
（2）由（1）得A＝，
则A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)( λ－1)．
令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3． ………………… 10分
C．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：(s为参数），直线l：（t为参数）．设C与l交于A，B两点，求线段AB的长度．
解：由消去s得曲线C的普通方程为y＝x2；
由消去t得直线l的普通方程为y＝3x－2．…………… 5分
联立直线方程与曲线C的方程，即
解得交点的坐标分别为(1，1)，(2，4)．
所以线段AB的长度为＝． …………… 10分
D．选修4－5：不等式选讲
已知x，y，z都是正数，且xyz＝1，求证：(1＋x)( 1＋y)( 1＋z)≥8．
证明：因为x为正数，所以1＋x≥2．
同理 1＋y≥2，
1＋z≥2．
所以(1＋x)( 1＋y)( 1＋z)≥2·2·2＝8．
因为xyz＝1， 所以(1＋x)( 1＋y)( 1＋z)≥8． …… 10分
22．（本小题满分10分）
甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求甲队得分X的分布列及数学期望．
解：（1）记甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜分别为事件A，B，C．
由题意得P(A)＝＝，
P(B)＝C··＝，
P(C)＝ C··＝． …………… 5分
（2）X的可能取值为0，1，2，3．
P(X＝3)＝P(A)＋P(B)＝； P(X＝2)＝P(C)＝，
P(X＝1)＝C··＝， P(X＝0)＝1－P(1≤X≤3)＝．
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
从而E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
答：甲队以3∶0，3∶1，3∶2获胜的概率分别为，，．甲队得分X的数学期望为． …………………… 10分
23．（本小题满分10分）
已知m，n∈N*，定义fn(m)＝．
（1）记am＝f6(m)，求a1＋a2＋…＋a12的值；
（2）记bm＝(－1)mmfn(m)，求b1＋b2＋…＋b2n所有可能值的集合．
解：（1）由题意知，fn(m)＝
所以am＝ ………………… 2分
所以a1＋a2＋…＋a12＝C＋C＋…＋C＝63． ………………… 4分
（2）当n＝1时， bm＝(－1)mmf1(m)＝则b1＋b2＝－1．………… 6分
当n≥2时，bm＝
又mC＝m·＝n·＝nC，
所以b1+b2＋…＋b2n＝n[－C＋C－C＋C＋…＋(－1)nC]＝0．
所以b1+b2＋…＋b2n的取值构成的集合为{－1，0}． ………… 10分
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