高三数学模拟调研卷二(高三数学试题调研)

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跪求 2008上海市普陀区 高三数学 二模试卷+解答

上海市普陀区2008学年度第二学期高三年级质量调研

数学试卷(理科)

一、填空题(本大题满分44分)

1. 已知 ,且 ,则 .

2. 若 ,其中 、 是实数, 是虚数单位,则 .

3. 等差数列 中,若 ,则 .

4. 在极坐标系中,点 到直线 的距离为 .

5. 已知向量 , ,若 ,则实数 .

6. 在△ 中,若 , ,则 .

7. 从集合 中任取两个元素 、 ( ),则方程 所对应的曲线表示焦点在 轴上的双曲线的概率是 .

8. 设 ,若存在 ,使得 ,则实数 的取值范围是 .

9. 若 的二项展开式中的第5项是 ,设 ,则 .

10. 设函数 ,则 在区间 内有定义且不是单调函数的充要条件是 .

11. 在直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线 ( )上任意一点 ,若点 在 轴、 轴上的射影分别为 、 ,则 必为定值 ”.类似地,在直角坐标平面内,对于双曲线 ( , )上任意一点 ,若 ,则 .

二、选择题(本大题满分16分)

12. “ ”是“直线 和直线 垂直”的 ( )

A.充分非必要条件;B.必要非充分条件;C.充要条件;D.既非充分又非必要条件.

13. 设 、 是非零向量,若函数 , 的图像是一条直线,则必有 ( )

A. ; B. ; C. ; D. .

14. 若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分,则该截面 ( )

A. 一定通过正方体的中心; B. 一定通过正方体一个表面的中心;

C. 一定通过正方体的一个顶点; D. 一定构成正多边形.

15. 设集合 ,集合 ,且 ,则实数 的取值范围是( )

A. ; B. ; C. ; D. .

三、解答题(本大题满分90分)

16.(本题满分12分)如图,在体积为 的三棱锥 中, , , . 点M、N分别是 的中点.求异面直线 与 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示)

17. (本题满分12分)

已知定理:“如果两个非零向量 不平行,那么 ( )的充要条件是 ”. 试用上述定理解答问题:

设非零向量 与 不平行. 已知向量 ,向量 ,且 . 求 与 的关系式;并当 时,求 的取值范围.

18. (本题满分14分,其中第1小题5分,第2小题9分)

已知函数 , .

(1)若关于 的方程 有解,求实数 的取值范围;

(2)若 ,求 的最小值.

19. (本题满分16分,其中第1小题6分,第2小题10分)

经济学中有一个用来权衡企业生产能力(简称“产能”)的模型,称为“产能边界”.它表示一个企业在产能最大化的条件下,在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能的组合. 例如,某企业在产能最大化条件下,一定时期内能生产A产品 台和B产品 台,则它们之间形成的函数 就是该企业的“产能边界函数”. 现假设该企业此时的“产能边界函数”为 .

(1)试分析该企业的产能边界,分别选用①、②、③中的一个序号填写下表:

点 对应的产量组合

实际意义

① 这是一种产能未能充分利用的产量组合;

② 这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合;

③ 这是一种使产能最大化的产量组合.

(2)假设A产品每台利润为 元,B产品每台利润为A产品每台利润的 倍( , ).在该企业的产能边界条件下,试为该企业决策,应生产A产品和B产品各多少台才能使企业获得最大利润?

20. (本题满分16分,其中第1小题4分,第2小题5分,第3小题7分)

已知无穷数列 中, 是以 为首项,以 为公差的等差数列; 是以 为首项,以 为公比的等比数列 ;并且对一切正整数 ,都有 成立.

(1) 当 时,请依次写出数列 的前12项;

(2) 若 ,试求 的值;

(3) 设数列 的前 项和为 ,问是否存在 的值,使得 成立?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本题满分20分,其中第1小题5分,第2小题7分,第3小题8分)

已知点 的坐标分别是 、 ,直线 相交于点P,且它们的斜率之积为 .

(1)求证:点P的轨迹在一个椭圆 上,并写出椭圆 的方程;

(2)设过原点 的直线 交(1)题中的椭圆 于点 、 ,定点 的坐标为 ,试求 面积的最大值,并求此时直线 的斜率 ;

(3)反思(2)题的解答,当 的面积取得最大值时,探索(2)题的结论中直线 的斜率 和 所在直线的斜率 之间的关系. 由此推广到点 位置的一般情况或椭圆的一般情况(使第(2)题的结论成为推广后的一个特例),试提出一个猜想或设计一个问题,尝试研究解决.

【说明:本小题将根据你所提出的猜想或问题的质量分层评分.】

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2010年浦东新区高三理科数学二模卷第23题

以前和一楼的一样

但解出来2^x=1或者1/2

x=0或者-1

而且他补充的答案中,有句话是错误的

对数函数不是和导数函数是反函数

对数函数和指数函数互为反函数!

黄冈市2011年高三模拟考试数学文答案

湖北省黄冈市黄州区一中2011届高三2011年数学模拟试卷二

选择题

1.则( )

A.21004 B.-21004 C.22008 D.-22008

A

解析 。

2.定义集合运算:.设,,则集合 的所有元素之和为( )

A.0 B.2 C.3 D.6

D

3.已知a,b∈R,且ab,则下列不等式中恒成立的是( )

A.a2b2 B.() a ()b C.lg(a-b)0 D.1

4.已知条件: =,条件:直线与圆相切,则是的

( )条件

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

A

解析 :直线与圆相切。

5. 已知集合的集合T= ( )

A、 B、 C、 D、

A

解析 ,因为,所以选(A)。

6.设,则等于( )

A. B. C. D.

D

解析 ,选(D)

7.已知圆,点(-2,0)及点(2,),从点观察点,要使视线不被圆挡住,则的取值范围是 ( )

A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-∞,)∪(,+∞)

D.(-∞,-4)∪(4,+∞)

C

解析 如图,,。所以的取值范围是(C)。

8.(文)( )

A. B. C. D.

D

解析 。

(理)从5男4女中选4位代表,其中至少有2位男生,且至少有1位女生,分别到四个不同的工厂调查,不同的分派方法有( )

A. 100种 B. 400种 C. 480种w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D.2400种

D

解析 。

9.函数对任意正整数a、b满足条件,且。则

的值是( )

A.2007 B.2008 C.2006 D.2005

B

解析 因为,所以,即,所以

10.已知函数,则对于任意实数、,取值的情况是( )

A.大于0 B.小于0 C. 等于0 D.不确定

A

解析 函数是奇函数,且在R上单调增。不妨设,则,所以,所以,所以。

11.为了大力改善交通,庆祝国庆60周年,某地区准备在国庆60周年来临之际,开通A,

B两地之间的公交线路。已知A,B相距15公里,公交的规划要求如下:相邻两个站点之间的距离相等,经过每一站点的汽车前后间隔时间为3分钟,忽略停车时间,设计汽车的行使速度是60公里每小时,则在A,B两地之间投入运行的汽车至少需要( )辆。

A.9 B.10 C.11 D.12

B

解析 因为每3分钟一班,行使速度是60公里每小时,所以相邻两个站点之间的距离是3公里,所以从A,B单程需要6个站点,即需要6辆汽车,再加上从B到A需要4辆汽车,所以共需要10辆汽车。

12.已知等差数列{a}的前n项和为S,若,,则此数列{a}中绝

对值最小的项是( )

A B C D

C

解析 因为,,所以,所以,所以

,所以此数列{a}中绝对值最小的项是。

填空题

13.执行右边的程序框图,若,则输出的

解析 。

14.(文)利用随机模拟方法计算与围成的面积时,利用计算器产生两组0~1区间的均匀随机数,,然后进行平移与伸缩变换,,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数,及,,那么本次模拟得出的面积为

10.72

解析 由,得:,点落在与围成的区域

内,由,得:,点也落在与

围成的区域内,所以本次模拟得出的面积为。

(理)极坐标方程表示的曲线是

一条直线和一个圆

解析 ,

则或。

15.(文)某师傅需用合板制作一个工作台,工作台由主体和附属两部分组成,主体部分全封闭,附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙,其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸,做成的工作台用去的合板的面积为 (制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计)。

解析 由三视图知该工作台是棱长为80的正方体上面围上一块矩形和两块直角三角形合板,如右图示,则用去的合板的面积。

(理)如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功 J。

0.18

解析 ,所以,所以。

16.(文)已知满足:,则函数的取值范围是

解析 ,其中。作出可行域得,即,又因为函数在上单调增,所以,所以。

(理) 设,则的最小值为

8

解析 设,由柯西不等式得:

,当且仅当同向时,等号成立。又,所以,所以的最小值为8。

解答题

17.如图,已知点和单位圆上半部分上的动点.

⑴若,求向量;

⑵求的最大值.

解析⑴依题意,,(不含1个或2个端点也对),

,(写出1个即可),

因为,所以,即,解得,

所以;

⑵,

。当时,取得最大值,。

18.(文)在新中国建立的60年,特别是改革开放30年以来,我国的经济快速增长,人民的生活水平稳步提高。某地2006年到2008年每年的用电量与GDP的资料如下:

日 期 2006年 2007年 2008年

用电量(x亿度) 11 13 12

GDP增长率(y(百分数)) 25 30 26

(1)用表中的数据可以求得,试求出y关于x的线性回归方程;

(2)根据以往的统计资料:当地每年的GDP每增长,就会带动1万就业。由于受金融危机的影响,预计2009年的用电量是8亿度,2009年当地新增就业人口是20万,请你估计这些新增就业人口的就业率。

解析 (1)由数据求得,所以.所以y关于x的线性回归方程为;

(2)当时,,所以预测2009年当地的GDP增长,从而可以带动当地的新增就业人口17万,估计这些新增就业人口的就业率。

(理)某单位有8名员工,其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训,另外3名员工

没有参加过任何技能培训,现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训。

(I)求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率;

(II)这次培训结束后,仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量,求X

的分布列和数学期望.

解析(I)恰好选到1名已参加过其他技能培训的员工的概率

(II)随机变量X可能取的值是:0,1,2,3.

∴随机变量X的分布列是

X 0 1 2 3

P

∴X的数学期望。

19.(文)一个多面体的三视图(正前方垂直于平面)及直观图如图所示,M、N分别是A1B、B1C1的中点。

(1)计算多面体的体积;

(2)求证‖平面;

(3)若点是AB的中点,求证AM平面。

解析(1)如右图可知,在这个多面体的直观图中,AA1⊥平面ABC,且AC⊥BC,AC=BC=CC1=,所以;

(2)连,由矩形性质得:AB1与A1B交于点M,在△AB1C1中,由中位线性质得MN//AC1,又因为平面ACC1A1,所以MN‖平面;

(3)在矩形中,,,所以,所以,又因为平面平面,,所以平面,所以,即,又,所以平面,即AM平面。

(理)已知中,,,⊥平面,,、分别是、上的动点,且.

(1)求证不论为何值,总有平面⊥平面;

(2)若平面与平面所成的二面角的大小为,求的值。

解析(1)∵⊥平面,∴,又在中,,∴,又,∴⊥平面,又在中、分别是、上的动点,且,∴,∴⊥平面,又平面,∴不论为何值,总有平面⊥平面;

(2)过点作,∵⊥平面,∴⊥平面,又在中,,∴,如图,以为原点,建立空间直角坐标系.又在中,,,∴。又在中,,∴,则。

∵,∴,∵,∴,

又∵, ,

设是平面的法向量,则,因为,所以,因为=(0,1,0),所以,令得,,因为 是平面的法向量,且平面与平面所成的二面角为,,∴,∴或(不合题意,舍去),故当平面与平面所成的二面角的大小为时。

20.已知函数有极值.

(Ⅰ)求的取值范围;

(Ⅱ)若在处取得极值,且当时,恒成立,求的取值范围.

解析(Ⅰ)∵,∴, 要使有极值,则方程有两个实数解,从而△=,∴.

(Ⅱ)∵在处取得极值,∴,∴.

∴,∵,∴当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减.∴时,在处取得最大值, ∵时,恒成立,

∴,即,∴或,即的取值范围是。

21.已知椭圆,的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,圆心在y轴上的圆C2与斜率为的直线切于点B,且AF‖。

(1)求圆的方程及椭圆的离心率。

(2)过P作圆C2的切线PE,PG,若的最小值为,求椭圆的方程。

解析(1)由圆心在y轴上的圆C2与斜率为1的直线切于点B,所以圆心在过B且垂直于的直线上,又圆心在y轴上,则圆心C2(0,3),

圆心到直线的距离,所以所求圆C2方程为:,又AF‖,,所以有,即,椭圆的离心率为;

(2)设

在中, ,由椭圆的几何性质有:

,所以有,因,所以,

所以椭圆的方程为。

22.(文科)(1)若数列是数列的子数列,试判断与的大小关系;

(2)在数列中,已知是一个公差不为零的等差数列,a5=6。

当且

②若存在自然数

构成一个等比数列。求证:当a3是整数时,a3必为12的正约数。

解析(1);

(2)①因为,从而,

,;

②因为,即

因为必为12的正约数。

(理科)已知数列R)对于。

(Ⅰ)当;

(Ⅱ)若,求数列的通项;

(Ⅲ)证明在数列中,存在一项满足≤3。

解析(I),;

当。因此 。

(II),,。

∴猜想对于任意正整数l有(即是周

期为4的数列)。

下面用数学归纳法证明。

(i)时,成立;

(ii)假设当时,成立。

,,

,。

由(i)(ii)可知对任意。

同理可证 。

(III)假设对所有的n,,所以数列是首项

为a,公差为-3的等差数列,所以,所以存在充分大的

n,使得,这与假设矛盾,∴假设不成立,∴在数列中,存在一项满足≤3。

求南京市,盐城市2015届高三年级第二次模拟考试数学卷答案

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.p            2.一          3.-2         4.55             5.

6.            7.③④         8.         9.              10.50 

11.(1,2)       12. 2          13.         14.10000

15.(本小题满分14分)

在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知cosC=.

(1)若×=,求△ABC的面积;

(2)设向量x=(2sin,),y=(cosB,cos),且x∥y,求sin(B-A)的值.

解:(1)由·=,得abcosC=.

又因为cosC=,所以ab==.                …………………… 2分

又C为△ABC的内角,所以sinC=.                 …………………… 4分

所以△ABC的面积S=absinC=3.               …………………… 6分

(2)因为x//y,所以2sincos=cosB,即sinB=cosB.     ………………… 8分

因为cosB≠0,所以tanB=.

因为B为三角形的内角,所以B=.                 ………………… 10分

所以A+C=,所以A=-C.

所以sin(B-A)=sin(-A)=sin(C-)

=sinC-cosC=×-×

=.                          ………………… 14分

16.(本小题满分14分)

如图,在四棱锥P—ABCD中, AD=CD=AB, AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.

(1)求证:BC⊥平面PAC;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

(第16题图)

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

P

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

A

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

B

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

C

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

D

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

M

   

   

   

 

 

(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN:PB的值.

证明:(1)连结AC.不妨设AD=1.

因为AD=CD=AB,所以CD=1,AB=2.

因为ÐADC=90°,所以AC=,ÐCAB=45°.

在△ABC中,由余弦定理得BC=,所以AC2+BC2=AB2.

所以BC^AC.                                      …………………… 3分

因为PC^平面ABCD,BCÌ平面ABCD,所以BC^PC.  …………………… 5分

因为PCÌ平面PAC,ACÌ平面PAC,PC∩AC=C,

所以BC^平面PAC.                                …………………… 7分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

(第16题图)

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

P

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

A

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

B

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

C

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

D

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

M

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

N

   

   

   

 

 

(2)如图,因为AB∥DC,CDÌ平面CDMN,ABË平面CDMN,

所以AB∥平面CDMN.    …………………… 9分

因为ABÌ平面PAB,

平面PAB∩平面CDMN=MN,

所以AB∥MN.           …………………… 12分

在△PAB中,因为M为线段PA的中点,

所以N为线段PB的中点,

即PN:PB的值为.      …………………… 14分

17.(本小题满分14分)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

E

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

B

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

G

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

A

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

N

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

D

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

M

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

C

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

F

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

O

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

H

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

P

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

(第17题图)

   

   

   

   

 

 

右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形ABCD,上部是圆弧AB,该圆弧所在圆的圆心为O.为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上, G,H在弦AB上).过O作OP^AB,交AB于M,交EF于N,交圆弧AB于P.已知OP=10,MP=6.5(单位:m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:m2).

(1)按下列要求建立函数关系式:

(i)设∠POF=θ (rad),将S表示成θ的函数;

(ii)设MN=x (m),将S表示成x的函数;

(2)试问通风窗的高度MN为多少时,通风窗EFGH的面积S最大?

解:(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5.

(i)在Rt△ONF中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.

在矩形EFGH中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5,

故S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7).

即所求函数关系是S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中cosθ0=.

…………4分

(ii)因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5.

在Rt△ONF中,NF===.

在矩形EFGH中,EF=2NF=,FG=MN=x,

故S=EF×FG=x.

即所求函数关系是S=x,0<x<6.5.     ………… 8分

(2)方法一:选择(i)中的函数模型:

令f(θ)=sinθ(20cosθ-7),

则f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.…………10分

由f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得cosθ=,或cosθ=-.

因为0<θ<θ0,所以cosθ>cosθ0,所以cosθ=.

设cosα=,且α为锐角,

则当θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函数,

所以当θ=α,即cosθ=时,f(θ)取到最大值,此时S有最大值.

即MN=10cosθ-3.5=4.5m时,通风窗的面积最大.   …………14分

方法二:选择(ii)中的函数模型:

因为S= ,令f(x)=x2(351-28x-4x2),

则f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39).            ……… 10分

因为当0<x<时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当<x<时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,

所以当x=时,f(x)取到最大值,此时S有最大值.

 即MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大.    …………14分

18.(本小题满分16分)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

x

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

y

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

A

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

O

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

B

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

C

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

D

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

M

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

N

   

   

   

 

 

 

 

 

   

   

   

   

(第18题图)

   

   

   

 

 

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0) 的离心率为,直线l:y=x与椭圆E相交于A,B两点,AB=2.C,D是椭圆E上异于A,B的任意两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.

(1)求a,b的值;

(2)求证:直线MN的斜率为定值.

解:(1)因为e==,所以c2=a2,即a2-b2=a2,所以a2=2b2.……2分

故椭圆方程为+=1.

由题意,不妨设点A在第一象限,点B在第三象限.

由解得A(b,b).

又AB=2,所以OA=,即b2+b2=5,解得b2=3.

故a=,b=.    ……………… 5分

(2)方法一:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).

①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2,C(x0,y0),

显然k1≠k2.

从而k1 ·kCB=·====-. 

所以kCB=-.                                       …………………… 8分

同理kDB=-.

于是直线AD的方程为y-1=k2(x-2),直线BC的方程为y+1=-(x+2).

由解得

从而点N的坐标为(,).  

用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).

………… 11分

所以kMN= ==-1.

即直线MN的斜率为定值-1.          ………14分

②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,

根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,

故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).

仍然设DA的斜率为k2,由①知kDB=-.

此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).

BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),

从而kMN=-1也成立.

由①②可知,直线MN的斜率为定值-1.   …………16分

方法二:由(1)知,椭圆E的方程为 +=1,从而A(2,1),B(-2,-1).

①当CA,CB,DA,DB斜率都存在时,设直线CA,DA的斜率分别为k1,k2.

显然k1≠k2.

直线AC的方程y-1=k1(x-2),即y=k1x+(1-2k1).

由得(1+2k12)x2+4k1(1-2k1)x+2(4k12-4k1-2)=0.

设点C的坐标为(x1,y1),则2·x1=,从而x1=.

所以C(,).

又B(-2,-1),

所以kBC==-.    ……………… 8分

所以直线BC的方程为y+1=-(x+2).

又直线AD的方程为y-1=k2(x-2).

由解得

从而点N的坐标为(,).  

用k2代k1,k1代k2得点M的坐标为(,).

……… 11分

所以kMN= ==-1.

即直线MN的斜率为定值-1.  ………………14分

②当CA,CB,DA,DB中,有直线的斜率不存在时,

根据题设要求,至多有一条直线斜率不存在,

故不妨设直线CA的斜率不存在,从而C(2,-1).

仍然设DA的斜率为k2,则由①知kDB=-.

此时CA:x=2,DB:y+1=-(x+2),它们交点M(2,-1-).

BC:y=-1,AD:y-1=k2(x-2),它们交点N(2-,-1),

从而kMN=-1也成立.

由①②可知,直线MN的斜率为定值-1.    ………………16分

19.(本小题满分16分)

已知函数f(x)=1+lnx-,其中k为常数.

(1)若k=0,求曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程;

(2)若k=5,求证:f(x)有且仅有两个零点;

(3)若k为整数,且当x>2时,f(x)>0恒成立,求k的最大值.

(参考数据ln8=2.08,ln9=2.20,ln10=2.30)

解:(1)当k=0时,f(x)=1+lnx.

因为f ¢(x)=,从而f ¢(1)=1.

又f (1)=1,

所以曲线y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程y-1=x-1,

即x-y=0.                      ………3分

(2)当k=5时,f(x)=lnx+-4.

因为f ¢(x)=,从而

当x∈(0,10),f ′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(10,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.

所以当x=10时,f(x)有极小值.     ……………… 5分

因f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以f(x)在(1,10)之间有一个零点.

因为f(e4)=4+-4>0,所以f(x)在(10,e4)之间有一个零点.

从而f(x)有两个不同的零点.    …………… 8分

(3)方法一:由题意知,1+lnx->0对x∈(2,+∞)恒成立,

即k<对x∈(2,+∞)恒成立.

令h(x)=,则h¢(x)=.

设v(x)=x-2lnx-4,则v¢(x)=.

当x∈(2,+∞)时,v¢(x)>0,所以v(x)在(2,+∞)为增函数.

因为v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0,

所以存在x0∈(8,9),v(x0)=0,即x0-2lnx0-4=0.

当x∈(2,x0)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(x0,+∞)时,h¢(x)>0,h(x)单调递增.

所以当x=x0时,h(x)的最小值h(x0)=.

因为lnx0=,所以h(x0)=∈(4,4.5). 

故所求的整数k的最大值为4.   …………… 16分

方法二:由题意知,1+lnx->0对x∈(2,+∞)恒成立.

f(x)=1+lnx-,f ¢(x)=.

①当2k≤2,即k≤1时,f¢(x)>0对x∈(2,+∞)恒成立,

所以f(x)在(2,+∞)上单调递增.

而f(2)=1+ln2>0成立,所以满足要求.

②当2k>2,即k>1时,

当x∈(2,2k)时,f ′(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(2k,+∞),f ′(x)>0,f(x)单调递增.

所以当x=2k时,f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k-k.

从而f(x)>0在x∈(2,+∞)恒成立,等价于2+ln2k-k>0.

令g(k)=2+ln2k-k,则g¢(k)=<0,从而g(k) 在(1,+∞)为减函数.

因为g(4)=ln8-2>0,g(5)=ln10-3<0 ,

所以使2+ln2k-k<0成立的最大正整数k=4.

综合①②,知所求的整数k的最大值为4.    ……… 16分

20.(本小题满分16分)

给定一个数列{an},在这个数列里,任取m(m≥3,m∈N*)项,并且不改变它们在数列{an}中的先后次序,得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列.

已知数列{an}的通项公式为an= (n∈N*,a为常数),等差数列a2,a3,a6是数列{an}的一个3阶子数列.

(1)求a的值;

(2)等差数列b1,b2,…,bm是{an}的一个m (m≥3,m∈N*) 阶子数列,且b1= (k为常数,

k∈N*,k≥2),求证:m≤k+1;

(3)等比数列c1,c2,…,cm是{an}的一个m (m≥3,m∈N*) 阶子数列,

求证:c1+c2+…+cm≤2-.

解:(1)因为a2,a3,a6成等差数列,所以a2-a3=a3-a6.

又因为a2=,a3=, a6=,

代入得-=-,解得a=0.   ……………3分

(2)设等差数列b1,b2,…,bm的公差为d.

因为b1=,所以b2≤,

从而d=b2-b1≤ -=-.    ………………6分

所以bm=b1+(m-1)d≤-.

又因为bm>0,所以->0.

即m-1<k+1.

所以m<k+2.

又因为m,k∈N*,所以m≤k+1.   …………… 9分

(3)设c1= (t∈N*),等比数列c1,c2,…,cm的公比为q.

因为c2≤,所以q=≤.   

从而cn=c1qn-1≤(1≤n≤m,n∈N*). 

所以c1+c2+…+cm≤+++…+

=[1-]

=-.  ………… 13分

设函数f(x)=x-,(m≥3,m∈N*).

当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=x-为单调增函数.

因为当t∈N*,所以1<≤2.   所以f()≤2-.

即 c1+c2+…+cm≤2-.   ……… 16分

南京市、盐城市2015届高三年级第二次模拟考试

数学附加题参考答案

A.选修4—1:几何证明选讲

 

 

   

   

   

   

B

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

A

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

D

   

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

E

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

C

   

   

   

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

F

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

(第21A题图)

   

   

   

 

 

如图,过点A的圆与BC切于点D,且与AB、AC分别交于点E、F.已知AD为∠BAC的平分线,求证:EF∥BC.

证明:如图,连接ED.

 

 

   

   

   

   

B

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

A

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

D

   

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

E

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

C

   

   

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

   

   

F

   

   

   

 

 

 

 

   

   

   

   

(第21A题图)

   

   

   

 

 

因为圆与BC切于D,所以∠BDE=∠BAD.…………………… 4分

因为AD平分∠BAC,

所以∠BAD=∠DAC.

又∠DAC=∠DEF,所以∠BDE=∠DEF.

所以EF∥BC.                         …………………… 10分

B.选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵A=, A的逆矩阵A-1= .

(1)求a,b的值;

(2)求A的特征值.

解:(1)因为A A-1= ==.

所以

解得a=1,b=-.      …………………… 5分

(2)由(1)得A=,

则A的特征多项式f(λ)==(λ-3)( λ-1).

令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=3.   ………………… 10分

C.选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(s为参数),直线l:(t为参数).设C与l交于A,B两点,求线段AB的长度.

解:由消去s得曲线C的普通方程为y=x2;

由消去t得直线l的普通方程为y=3x-2.…………… 5分

联立直线方程与曲线C的方程,即

解得交点的坐标分别为(1,1),(2,4).

所以线段AB的长度为=. …………… 10分

D.选修4-5:不等式选讲

已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证:(1+x)( 1+y)( 1+z)≥8.

证明:因为x为正数,所以1+x≥2.

同理 1+y≥2,

1+z≥2.

  所以(1+x)( 1+y)( 1+z)≥2·2·2=8.

因为xyz=1,   所以(1+x)( 1+y)( 1+z)≥8.       …… 10分

22.(本小题满分10分)

甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.

(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率;

(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分.求甲队得分X的分布列及数学期望. 

解:(1)记甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜分别为事件A,B,C.

由题意得P(A)==,

P(B)=C··=,

P(C)= C··=.         …………… 5分

(2)X的可能取值为0,1,2,3.

P(X=3)=P(A)+P(B)=; P(X=2)=P(C)=,

P(X=1)=C··=, P(X=0)=1-P(1≤X≤3)=.

所以X的分布列为:

 

 

X

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

从而E(X)=0×+1×+2×+3×=.

答:甲队以3∶0,3∶1,3∶2获胜的概率分别为,,.甲队得分X的数学期望为.                   …………………… 10分

23.(本小题满分10分)

已知m,n∈N*,定义fn(m)=.

(1)记am=f6(m),求a1+a2+…+a12的值;

(2)记bm=(-1)mmfn(m),求b1+b2+…+b2n所有可能值的集合.

解:(1)由题意知,fn(m)=

所以am=         ………………… 2分

所以a1+a2+…+a12=C+C+…+C=63.    ………………… 4分

(2)当n=1时, bm=(-1)mmf1(m)=则b1+b2=-1.………… 6分

当n≥2时,bm=

又mC=m·=n·=nC,

所以b1+b2+…+b2n=n[-C+C-C+C+…+(-1)nC]=0.

所以b1+b2+…+b2n的取值构成的集合为{-1,0}.      ………… 10分

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